Les modèles macroscopiques basés sur des équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) permettent de représenter de façon synthétique la dynamique d’une population lorsque le nombre d’individus est très élevé. Dans ce cas, en effet, on peut se limiter à suivre l’évolution de la densité de population (nombre d’individus par unité d’espace) plutôt que chercher à tracer les trajectoires des différents individus. Le projet prévoit ici l’élaboration et l’analyse (théorique et numérique) d’un modèle à partir de deux ingrédients principaux.
D’un côté le comportement très diffèrent des individus suivant leur âge encourage à considérer un modèle structuré sur un graphe. La variable qui décrit l’évolution sur le graphe est la croissance (ou la maturation). Le graphe consiste en 4 nœuds et trois branches, comme représenté dans la figure.
Les trois branches représentent les trois classes d’âges nouveaux nés, juvéniles, adultes. La natalité et la mortalité de chaque tranche d’âge peuvent être intégrées dans les conditions de transmission aux nœuds. Ce type de description est assez répandu en épidémiologie.
La variable de maturation est suffisante (ou presque) pour décrire l’évolution des nouveaux nés et des adultes. Cependant le comportement observé des juvéniles demande une étape de modélisation supplémentaire, qui constitue notre deuxième ingrédient. Dès que la densité totale de population est trop importante, les juvéniles migrent et fondent des nouvelles colonies, éloignées du foyer initiale. La nécessité d’intégrer le relief du terrain dans nos équations, le fait que la vitesse de propagation de la travelling wave observée soit finie et l’hypothèse fondamentale que les causes de variation de la densité de population soient connues, ont poussé à développer un modèle basé sur des lois de bilan de type Saint Venant.
Il s’agit là d’un modèle classique pour le ruissellement (écoulement d’un fluide dont la hauteur est « faible » par rapport aux dimensions horizontales du relief ou du domaine). La présence d’une valeur-seuil de densité au-delà de laquelle la migration est déclenchée a un analogue dans l’étude du ruissellement en présence de sillons.
Contacts:
Carlotta Donadello, LMB
Ulrich Razafison, LMB
Julien-Yves Rolland, LMB